Sinus i cosinus kąta dopełniającego

Poznaj związek pomiędzy sinusem i cosinusem kątów dopełniających, czyli takich, które sumują się do 90°.

Naszym celem jest udowodnienie, że sinus danego kąta równa się cosinusowi jego kąta dopełniającego:

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Zacznijmy od trójkąta prostokątnego. Zauważ, że jego kąty ostre dopełniają się do kąta prostego, to znaczy, że ich suma wynosi

90^{\circ}

Suma miar kątów w trójkącie wyosi

180^{\circ}

. Skoro jeden kąt w trójkącie prostokątnym ma miarę

90^{\circ}

, to znaczy, że suma dwóch pozostałych kątów musi wynosić

180^{\circ} - 90^{\circ}

czyli

90^{\circ}

Jeśli jeden z kątów nazwiemy

θ

, to drugi będzie wynosił

90^{\circ}

minus

θ

. Dzięki temu mamy pewność, że suma miar tych kątów wynosi

90^{\circ}

Jeśli suma miar dwóch kątów wynosi

90^{\circ}

, to te kąty nazywamy kątami dopełniającymi się.

A teraz najlepsze. Czy widzisz, że sinus jednego kąta ostrego

opisuje

ten sam stosunek

co cosinus drugiego kąta ostrego?

Niesamowite! Obie funkcje,

\sin (θ)

\cos (90^{\circ} - θ)

, dają taki sam stosunek boków w trójkącie prostokątnym.

I gotowe! Pokazaliśmy, że

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Innymi słowy, sinus kąta równa się cosinusowi dopełnienia tego kąta do 90°.

Formalnie rzecz biorąc, wykazaliśmy tę właściwość tylko dla kątów o miarach między

0^{\circ}

90^{\circ}

. Żeby nasz dowód miał zastosowanie dla wszystkich kątów, musielibyśmy wyjść poza trygonometrię trójkąta prostokątnego i zagłębić się w świat trygonometrii okręgu jednostkowego, ale tym zajmiemy się innym razem.

Kofunkcje

Pewnie zauważyliście, że słowa sinus i cosinus podobnie brzmią. A to dlatego, że są kofunkcjami! Powyżej widzieliście dokładnie, na czym polegają kofunkcje. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli

f

g

są kofunkcjami, to

f (θ) = g (90^{\circ} - θ)

g (θ) = f (90^{\circ} - θ)

Oto pełna lista podstawowych kofunkcji trygonometrycznych:

Cofunkcje
sinus i cosinus	$\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cos (θ) = \sin (90^{\circ} - θ)$ ‍
tangens i cotangens	$\tan (θ) = \cot (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cot (θ) = \tan (90^{\circ} - θ)$ ‍
secans i cosecans	$\sec (θ) = \csc (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\csc (θ) = \sec (90^{\circ} - θ)$ ‍

Naprawdę przejrzyste! Osoba, która nazwała funkcje trygonometryczne, musiała bardzo dobrze rozumieć zależności między nimi.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.